La tour de Hanoï se résout en 2n − 1 mouvements au minimum, n étant le nombre de disques, soit 7 mouvements avec 3 disques. C'est l'un des casse-têtes les plus célèbres de l'histoire des mathématiques. Le défi est simple à énoncer : déplacer une pile de disques de taille décroissante d'un piquet source vers un piquet cible, en utilisant un piquet intermédiaire, sans jamais poser un disque plus grand sur un plus petit. Seul un disque peut être déplacé à la fois.
La formule mathématique derrière le jeu
Le nombre minimal de mouvements nécessaires pour résoudre ce casse-tête logique en bois avec n disques est exactement 2n − 1. Avec 3 disques : 7 mouvements. Avec 4 disques : 15. Avec 10 disques : 1 023. Avec 64 disques, comme dans la légende originale inventée par Édouard Lucas en 1883, il faudrait 18 446 744 073 709 551 615 mouvements, environ 585 milliards d'années à raison d'un mouvement par seconde.
Cette croissance exponentielle illustre de façon concrète et mémorable le concept de complexité algorithmique : chaque disque ajouté double à peu près le travail. La réflexion algorithmique mise en jeu est exactement celle de la récursivité en informatique : résoudre le problème à n disques revient à résoudre deux fois le problème à n-1 disques, plus un mouvement direct. Cette structure récursive explique que la tour de Hanoï est un exercice classique dans l'enseignement de la programmation.
La solution pas à pas avec 3 disques
Numérotez les disques du plus petit (1) au plus grand (3) et les piquets A (départ), B (intermédiaire) et C (arrivée). La solution optimale tient en sept coups :
- Disque 1 de A vers C.
- Disque 2 de A vers B.
- Disque 1 de C vers B.
- Disque 3 de A vers C.
- Disque 1 de B vers A.
- Disque 2 de B vers C.
- Disque 1 de A vers C.
On y lit la récursivité : les trois premiers coups rangent la petite tour de deux disques sur B, le quatrième déplace le grand disque, les trois derniers reconstruisent la petite tour sur C.
Deux règles pour ne jamais se perdre
Au-delà de 4 disques, deux repères suffisent pour jouer la solution optimale sans réfléchir à chaque coup :
- Le plus petit disque bouge un coup sur deux, toujours dans le même sens de rotation. Avec un nombre impair de disques, il tourne A, C, B, A ; avec un nombre pair, A, B, C, A.
- Entre deux mouvements du petit disque, il n'existe qu'un seul autre coup légal : on le joue.
Ces deux règles reproduisent exactement la solution récursive. Pour appliquer le même raisonnement à d'autres puzzles, notre guide pour résoudre un casse-tête avec méthode détaille l'ordre des essais.
Comment jouer et progresser
Un débutant commence avec 3 ou 4 disques. La solution optimale à 3 disques (7 mouvements) se retrouve rapidement par tâtonnement. Passer à 4 disques (15 mouvements) force à adopter une stratégie consciente. À 5 disques (31 mouvements), la mémorisation de la stratégie récursive devient nécessaire pour ne pas se perdre. Les modèles en bois de 7 à 10 disques s'adressent aux joueurs expérimentés ou aux professeurs souhaitant une démonstration convaincante.
La tour de Hanoï en bois est aussi un jeu de patience et de précision gestuelle : déplacer les disques sans les faire tomber sur une table exige de la douceur. Les meilleurs modèles ont des piquets stables et des disques bien centrés avec des trous légèrement plus larges que le diamètre du piquet, pour faciliter les mouvements rapides. Avec un enfant, commencez par 3 disques et laissez-le compter ses coups : viser le nombre minimal devient vite un défi motivant, comme avec les autres jeux de logique pour enfant en bois.
Quel modèle choisir ?
Les modèles en bois naturel (hêtre ou pin) à 7 disques sont idéaux pour un usage pédagogique à la maison ou en classe. Comptez entre 15 et 35 euros selon la qualité de la fabrication. Les versions colorées, où chaque disque a sa propre couleur, sont recommandées pour les enfants car elles permettent de mieux visualiser les mouvements. Les kits à 10 disques ou plus s'adressent aux amateurs de défis mathématiques avancés qui souhaitent explorer les 1 023 mouvements de la solution optimale. Les bricoleurs peuvent aussi fabriquer leur propre tour : trois tourillons et des rondelles de diamètres décroissants suffisent, voir notre atelier pour créer un casse-tête en bois.
Questions fréquentes sur la tour de Hanoï
Combien de coups faut-il pour finir la tour de Hanoï ?
Avec n disques, la solution la plus courte compte 2n − 1 coups, soit 7 mouvements avec 3 disques. Il est impossible de faire moins.
Par quel piquet commencer le premier coup ?
Tout dépend du nombre de disques : s'il est impair, le petit disque part directement vers le piquet d'arrivée ; s'il est pair, il part d'abord vers le piquet intermédiaire.
À partir de quel âge peut-on y jouer ?
Une tour à 3 disques se joue dès que l'enfant comprend la règle « jamais un grand sur un petit ». On ajoute ensuite un disque à la fois, quand la version précédente est réussie en nombre minimal de coups.
